Nombre pair, nombre impair

Définitions

• Un nombre pair est un nombre divisible par \(2\), ce qui signifie qu'il existe un entier relatif \(k\) tel que ce nombre s'écrit \(2\times k=2k\).
  

• Un nombre impair est un nombre qui n'est pas divisible par \(2\), ce qui signifie qu'il existe un entier relatif \(k\) tel que ce nombre s'écrit \(2\times k+1=2k+1\).
  

Exemples

• \(8=2\times 4\) est un nombre pair (ici, \(k=4\)).
  
• \(7=2\times3+1\) est un nombre impair (ici, \(k=3\)).
  

Propriété

Soit \(a\in \mathbb{Z}\).
\(a\) est impair si et seulement si \(a^2\) est impair.

Démonstration

Il s'agit ici de démontrer une équivalence logique.

• Démontrons que, si \(a\) est impair, alors \(a^2\) l'est aussi.
  \(a\) étant impair, il existe \(k\in \mathbb{Z}\) tel que \(a=2k+1\) alors \(a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1\).
  Et comme \(k\in\mathbb{Z}\) alors \(K=2k^2+2k\in \mathbb{Z}\) , et on a bien \(a^2=2K+1\) avec \(K\in\mathbb{Z}\).
  Ceci signifie que \(a^2\) est impair.
  
• Démontrons que, si \(a^2\) est impair, alors \(a\) est impair.
  Pour cela, on utilise la méthode par contraposée : on démontre que si \(a\) est pair, alors \(a^2\) est pair.
  \(a\) étant pair, il existe \(k\in \mathbb{Z}\) tel que \(a=2k\) alors \(a^2=(2k)^2=4k^2=2(2k^2)\)
  Et comme \(k\in\mathbb{Z}\) alors \(K=2k^2\) , et on a bien \(a^2=2K\) avec \(K\in\mathbb{Z}\).
  Ceci signifie que \(a^2\) est pair.